Statistiques - modèle de Black-Scholes

Le modèle Black Scholes est un modèle mathématique pour vérifier la variation des prix dans le temps d'instruments financiers tels que les actions qui peuvent être utilisés pour calculer le prix d'une option d'achat européenne. Ce modèle suppose que le prix des actifs qui sont fortement négociés suit un mouvement brownien géométrique ayant une dérive et une volatilité constantes. En cas d'option d'achat d'actions, le modèle de Black Scholes intègre la variation de prix constante de l'action sous-jacente, la valeur temps de l'argent, le prix d'exercice de l'option et son délai d'expiration.

Le modèle Black Scholes a été développé en 1973 par Fisher Black, Robert Merton et Myron Scholes et est encore largement utilisé sur les marchés financiers euporiens. Il constitue l'un des meilleurs moyens de déterminer des prix justes pour les options.

Contributions

Le modèle Black Scholes nécessite cinq entrées.

  • Prix d'exercice d'une option

  • Cours de bourse actuel

  • Délai d'expiration

  • Taux sans risque

  • Volatilité

Hypothèses

Le modèle Black Scholes suppose les points suivants.

  • Les cours des actions suivent une distribution log-normale.

  • Les prix des actifs ne peuvent pas être négatifs.

  • Aucun frais de transaction ni taxe.

  • Le taux d'intérêt sans risque est constant pour toutes les échéances.

  • La vente à découvert de titres avec utilisation du produit est autorisée.

  • Aucune possibilité d'arbitrage sans risque présente.

Formule

$ {C = SN (d_1) - Ke ^ {- rT} Nd_2 \\ [7pt] \, P = Ke ^ {- rT} N (-d_2) - SN (-d_1) \\ [7pt] \, où \\ [7pt] \, d_1 = \ frac {1} {{\ sigma \ sqrt T}} [ln (\ frac {S} {K}) + (r + \ frac {\ sigma ^ 2} {2} T)] \\ [7pt] \, d_2 = d_1 - \ sigma \ sqrt T} $

Où -

  • $ {C} $ = Valeur de l'option d'achat.

  • $ {P} $ = Valeur de l'option de vente.

  • $ {S} $ = Cours de l'action.

  • $ {K} $ = prix d'exercice.

  • $ {r} $ = Taux d'intérêt sans risque.

  • $ {T} $ = Délai jusqu'à l'échéance.

  • $ {\ sigma} $ = Volatilité annualisée.

Limites

Le modèle Black Scholes a les limitations suivantes.

  • Applicable uniquement aux options européennes, car les options américaines pouvaient être exercées avant leur expiration.

  • Le dividende constant et les taux sans risque constants peuvent ne pas être relistes.

  • La volatilité peut varier en fonction du niveau de l'offre et de la demande d'options, ce qui peut donc ne pas être constant.