Statistiques - Théorème de Chebyshev

La fraction de tout ensemble de nombres compris dans k écarts-types de ces nombres de la moyenne de ces nombres est au moins

$ {1- \ frac {1} {k ^ 2}} $

Où -

  • $ {k = \ frac {the \ within \ number} {the \ standard \ deviation}} $

et $ {k} $ doit être supérieur à 1

Exemple

Énoncé du problème:

Utilisez le théorème de Chebyshev pour trouver quel pourcentage des valeurs se situera entre 123 et 179 pour un ensemble de données avec une moyenne de 151 et un écart-type de 14.

Solution:

  • Nous soustrayons 151-123 et obtenons 28, ce qui nous indique que 123 est 28 unités en dessous de la moyenne.

  • Nous soustrayons 179-151 et obtenons également 28, ce qui nous indique que 151 est 28 unités au-dessus de la moyenne.

  • Ces deux éléments ensemble nous indiquent que les valeurs comprises entre 123 et 179 se situent toutes à moins de 28 unités de la moyenne. Par conséquent, le «nombre intérieur» est 28.

  • On retrouve donc le nombre d'écarts-types, k, que le "dans le nombre", 28, équivaut à le diviser par l'écart-type:

$ {k = \ frac {the \ within \ number} {the \ standard \ deviation} = \ frac {28} {14} = 2} $

Alors maintenant, nous savons que les valeurs comprises entre 123 et 179 sont toutes à moins de 28 unités de la moyenne, ce qui est le même qu'à l'intérieur de k = 2 écarts-types de la moyenne. Maintenant, puisque k> 1, nous pouvons utiliser la formule de Chebyshev pour trouver la fraction des données qui se trouvent dans k = 2 écarts-types de la moyenne. En substituant k = 2, nous avons:

$ {1- \ frac {1} {k ^ 2} = 1- \ frac {1} {2 ^ 2} = 1- \ frac {1} {4} = \ frac {3} {4}} $

Ainsi, $ {\ frac {3} {4}} $ des données se situent entre 123 et 179. Et puisque $ {\ frac {3} {4} = 75} $%, cela implique que 75% des valeurs de données se situent entre 123 et 179.