Statistiques - Distribution du chi carré

La distribution du chi carré (chi carré ou $ {X ^ 2} $ - distribution) avec des degrés de liberté, k est la distribution d'une somme des carrés de k variables aléatoires normales normales indépendantes. Il s'agit de l'une des distributions de probabilités les plus utilisées en statistique. C'est un cas particulier de la distribution gamma.

Distribution du chi carré

La distribution du chi carré est largement utilisée par les statisticiens pour calculer les éléments suivants:

  • Estimation de l'intervalle de confiance pour un écart-type de population d'une distribution normale à l'aide d'un écart-type d'échantillon.

  • Vérifier l'indépendance de deux critères de classification de multiples variables qualitatives.

  • Pour vérifier les relations entre les variables catégorielles.

  • Pour étudier la variance de l'échantillon où la distribution sous-jacente est normale.

  • Pour tester les écarts de différences entre les fréquences attendues et observées.

  • Pour effectuer un test du chi carré (un test d'adéquation).

Fonction de densité de probabilité

La fonction de densité de probabilité de la distribution du chi carré est donnée par:

Formule

$ {f (x; k) =} $ $ \ begin {cases} \ frac {x ^ {\ frac {k} {2} - 1} e ^ {- \ frac {x} {2}}} {2 ^ {\ frac {k} {2}} \ Gamma (\ frac {k} {2})}, & \ text {if $ x \ gt 0 $} \\ [7pt] 0, & \ text {if $ x \ le 0 $} \ end {cases} $

Où -

  • $ {\ Gamma (\ frac {k} {2})} $ = Fonction gamma ayant des valeurs de forme fermée pour le paramètre entier k.

  • $ {x} $ = variable aléatoire.

  • $ {k} $ = paramètre entier.

Fonction de distribution cumulative

La fonction de distribution cumulative de la distribution du chi carré est donnée comme suit:

Formule

$ {F (x; k) = \ frac {\ gamma (\ frac {x} {2}, \ frac {k} {2})} {\ Gamma (\ frac {k} {2})} \\ [7pt] = P (\ frac {x} {2}, \ frac {k} {2})} $

Où -

  • $ {\ gamma (s, t)} $ = fonction gamma incomplète inférieure.

  • $ {P (s, t)} $ = fonction gamma régularisée.

  • $ {x} $ = variable aléatoire.

  • $ {k} $ = paramètre entier.