Statistiques - Estimation d'intervalle

L'estimation d'intervalle est l'utilisation de données d'échantillonnage pour calculer un intervalle de valeurs possibles (ou probables) d'un paramètre de population inconnu, contrairement à l'estimation ponctuelle, qui est un nombre unique.

Formule

$ {\ mu = \ bar x \ pm Z _ {\ frac {\ alpha} {2}} \ frac {\ sigma} {\ sqrt n}} $

Où -

  • $ {\ bar x} $ = moyenne

  • $ {Z _ {\ frac {\ alpha} {2}}} $ = le coefficient de confiance

  • $ {\ alpha} $ = niveau de confiance

  • $ {\ sigma} $ = écart-type

  • $ {n} $ = taille de l'échantillon

Exemple

Énoncé du problème:

Supposons qu'un élève mesurant la température d'ébullition d'un certain liquide observe les lectures (en degrés Celsius) 102,5, 101,7, 103,1, 100,9, 100,5 et 102,2 sur 6 échantillons différents du liquide. Il calcule la moyenne de l'échantillon à 101,82. S'il sait que l'écart type de cette procédure est de 1,2 degré, quelle est l'estimation d'intervalle pour la moyenne de la population à un niveau de confiance de 95%?

Solution:

L'élève a calculé que la moyenne de l'échantillon des températures d'ébullition était de 101,82, avec un écart type $ {\ sigma = 0,49} $. La valeur critique pour un intervalle de confiance à 95% est 1,96, où $ {\ frac {1-0,95} {2} = 0,025} $. Un intervalle de confiance à 95% pour la moyenne inconnue.

$ {= ((101.82 - (1.96 \ fois 0.49)), (101.82 + (1.96 \ fois 0.49))) \\ [7pt] \ = (101.82 - 0.96, 101.82 + 0.96) \\ [7pt] \ = ( 100,86, 102,78)} $

À mesure que le niveau de confiance diminue, la taille de l'intervalle correspondant diminue. Supposons que l'élève s'intéresse à un intervalle de confiance de 90% pour la température d'ébullition. Dans ce cas, $ {\ sigma = 0.90} $ et $ {\ frac {1-0.90} {2} = 0.05} $. La valeur critique pour ce niveau est égale à 1,645, donc l'intervalle de confiance à 90% est

$ {= ((101,82 - (1,645 \ fois 0,49)), (101,82 + (1,645 \ fois 0,49))) \\ [7pt] \ = (101,82 - 0,81, 101,82 + 0,81) \\ [7pt] \ = ( 101.01, 102.63)} $

Une augmentation de la taille de l'échantillon diminuera la longueur de l'intervalle de confiance sans réduire le niveau de confiance. En effet, l'écart type diminue à mesure que n augmente.

Marge d'erreur

La marge d'erreur $ {m} $ d'estimation d'intervalle est définie comme étant la valeur ajoutée ou soustraite de la moyenne de l'échantillon qui détermine la longueur de l'intervalle:

$ {Z _ {\ frac {\ alpha} {2}} \ frac {\ sigma} {\ sqrt n}} $

Supposons que dans l'exemple ci-dessus, l'étudiant souhaite avoir une marge d'erreur égale à 0,5 avec une confiance de 95%. La substitution des valeurs appropriées dans l'expression de $ {m} $ et la résolution de n donne le calcul.

$ {n = {(1.96 \ times \ frac {1.2} {0.5})} ^ 2 \\ [7pt] \ = {\ frac {2.35} {0.5} ^ 2} \\ [7pt] \ = {(4.7 )} ^ 2 \ = 22,09} $

Pour obtenir une estimation d'intervalle de 95% pour le point d'ébullition moyen avec une longueur totale inférieure à 1 degré, l'étudiant devra prendre 23 mesures.