Statistiques - Distribution multinomiale

Une expérience multinomiale est une expérience statistique et elle consiste en n essais répétés. Chaque essai a un nombre discret de résultats possibles. Dans un essai donné, la probabilité qu'un résultat particulier se produise est constante.

Formule

$ {P_r = \ frac {n!} {(N_1!) (N_2!) ... (n_x!)} {P_1} ^ {n_1} {P_2} ^ {n_2} ... {P_x} ^ {n_x }} $

Où -

  • $ {n} $ = nombre d'événements

  • $ {n_1} $ = nombre de résultats, événement 1

  • $ {n_2} $ = nombre de résultats, événement 2

  • $ {n_x} $ = nombre de résultats, événement x

  • $ {P_1} $ = probabilité que l'événement 1 se produise

  • $ {P_2} $ = probabilité que l'événement 2 se produise

  • $ {P_x} $ = probabilité que l'événement x se produise

Exemple

Énoncé du problème:

Trois joueurs de cartes jouent une série de matchs. La probabilité que le joueur A gagne une partie est de 20%, la probabilité que le joueur B gagne 30% et la probabilité que le joueur C gagne 50%. S'ils jouent 6 parties, quelle est la probabilité que le joueur A gagne 1 partie, le joueur B 2 parties et le joueur C 3?

Solution:

Donné:

  • $ {n} $ = 12 (6 parties au total)

  • $ {n_1} $ = 1 (le joueur A gagne)

  • $ {n_2} $ = 2 (le joueur B gagne)

  • $ {n_3} $ = 3 (le joueur C gagne)

  • $ {P_1} $ = 0,20 (probabilité que le joueur A gagne)

  • $ {P_1} $ = 0,30 (probabilité que le joueur B gagne)

  • $ {P_1} $ = 0,50 (probabilité que le joueur C gagne)

En mettant les valeurs dans la formule, nous obtenons:

$ {P_r = \ frac {n!} {(N_1!) (N_2!) ... (n_x!)} {P_1} ^ {n_1} {P_2} ^ {n_2} ... {P_x} ^ {n_x }, \\ [7pt] \ P_r (A = 1, B = 2, C = 3) = \ frac {6!} {1! 2! 3!} (0,2 ^ 1) (0,3 ^ 2) (0,5 ^ 3), \\ [7pt] \ = 0,135} $