Statistiques - Permutation paire et impaire

Considérez X comme un ensemble fini d'au moins deux éléments, alors les permutations de X peuvent être divisées en deux catégories de taille égale: la permutation paire et la permutation impaire.

Permutation étrange

La permutation impaire est un ensemble de permutations obtenues à partir d'un nombre impair de swaps de deux éléments dans un ensemble. Elle est désignée par une permutation sumbol de -1. Pour un ensemble de n nombres où n> 2, il existe des permutations $ {\ frac {n!} {2}} $ possibles. Par exemple, pour n = 1, 2, 3, 4, 5, ..., les permutations impaires possibles sont 0, 1, 3, 12, 60 et ainsi de suite ...

Exemple

Calculez la permutation impaire pour l'ensemble suivant: {1,2,3,4}.

Solution:

Ici n = 4, donc pas total. de permutation impaire possible sont $ {\ frac {4!} {2} = \ frac {24} {2} = 12} $. Voici les étapes pour générer des permutations impaires.

Étape 1:

Échangez deux numéros une fois. Voici les permutations pouvant être obtenues:

$ {\ {2, 1, 3, 4 \} \\ [7pt] \ {1, 3, 2, 4 \} \\ [7pt] \ {1, 2, 4, 3 \} \\ [7pt] \ {3, 2, 1, 4 \} \\ [7pt] \ {4, 2, 3, 1 \} \\ [7pt] \ {1, 4, 3, 2 \}} $

Étape 2:

Échangez deux numéros trois fois. Voici les permutations pouvant être obtenues:

$ {\ {2, 3, 4, 1 \} \\ [7pt] \ {2, 4, 1, 3 \} \\ [7pt] \ {3, 1, 4, 2 \} \\ [7pt] \ {3, 4, 2, 1 \} \\ [7pt] \ {4, 1, 2, 3 \} \\ [7pt] \ {4, 3, 1, 2 \}} $

Permutation paire

La permutation paire est un ensemble de permutations obtenues à partir d'un nombre pair de deux échanges d'éléments dans un ensemble. Elle est désignée par une permutation sumbol de +1. Pour un ensemble de n nombres où n> 2, il existe des permutations $ {\ frac {n!} {2}} $ possibles. Par exemple, pour n = 1, 2, 3, 4, 5, ..., les permutations paires possibles sont 0, 1, 3, 12, 60 et ainsi de suite ...

Exemple

Calculez la permutation paire pour l'ensemble suivant: {1,2,3,4}.

Solution:

Ici n = 4, donc pas total. de permutation paire possible sont $ {\ frac {4!} {2} = \ frac {24} {2} = 12} $. Voici les étapes pour générer des permutations uniformes.

Étape 1:

Échangez deux chiffres zéro fois. Voici la permutation pouvant être obtenue:

$ {\ {1, 2, 3, 4 \}} $

Étape 2:

Échangez deux numéros deux fois. Voici les permutations pouvant être obtenues:

$ {\ {1, 3, 4, 2 \} \\ [7pt] \ {1, 4, 2, 3 \} \\ [7pt] \ {2, 1, 4, 3 \} \\ [7pt] \ {2, 3, 1, 4 \} \\ [7pt] \ {2, 4, 3, 1 \} \\ [7pt] \ {3, 1, 2, 4 \} \\ [7pt] \ { 3, 2, 4, 1 \} \\ [7pt] \ {3, 4, 1, 2 \} \\ [7pt] \ {4, 1, 3, 2 \} \\ [7pt] \ {4, 2, 1, 3 \} \\ [7pt] \ {4, 3, 2, 1 \}} $