Statistiques - Power Calculator

Chaque fois qu'un test d'hypothèse est effectué, nous devons vérifier que le test est de haute qualité. Une façon de vérifier la puissance ou la sensibilité d'un test consiste à calculer la probabilité du test qu'il puisse rejeter correctement l'hypothèse null lorsqu'une autre hypothèse est correcte. En d'autres termes, la puissance d'un test est la probabilité d'accepter l'hypothèse alternative lorsqu'elle est vraie, où l'hypothèse alternative détecte un effet dans le test statistique.

$ {Puissance = \ P (\ rejeter \ H_0 | H_1 \ est \ vrai)} $

La puissance d'un test est également testée en vérifiant la probabilité d'erreur de type I ($ {\ alpha} $) et d'erreur de type II ($ {\ beta} $) où l'erreur de type I représente le rejet incorrect d'une hypothèse null valide alors que L'erreur de type II représente la rétention incorrecte d'une hypothèse null invalide. Moins les risques d'erreur de type I ou de type II sont importants, plus la puissance du test statistique est grande.

Exemple

Une enquête a été menée auprès des étudiants pour vérifier leur niveau de QI. Supposons qu'un échantillon aléatoire de 16 élèves soit testé. L'enquêteur teste l'hypothèse null selon laquelle le QI de l'élève est de 100 contre l'hypothèse alternative selon laquelle le QI de l'élève n'est pas de 100, en utilisant un niveau de signification de 0,05 et un écart-type de 16. Quelle est la puissance du test d'hypothèse si la population réelle moyenne était de 116?

Solution:

Comme la distribution de la statistique de test sous l'hypothèse null suit une distribution de Student. Ici n est grand, nous pouvons approximer la distribution t par une distribution normale. Comme la probabilité de commettre une erreur de type I ($ {\ alpha} $) est de 0,05, nous pouvons rejeter l'hypothèse null $ {H_0} $ lorsque la statistique de test $ {T \ ge 1.645} $. Calculons la valeur de la moyenne de l'échantillon à l'aide des statistiques de test en suivant la formule.

$ {T = \ frac {\ bar X - \ mu} {\ frac {\ sigma} {\ sqrt \ mu}} \\ [7pt] \ implique \ bar X = \ mu + T (\ frac {\ sigma} {\ sqrt \ mu}) \\ [7pt] \, = 100 + 1,645 (\ frac {16} {\ sqrt {16}}) \\ [7pt] \, = 106,58} $

Calculons la puissance du test statistique en suivant la formule.

$ {Power = P (\ bar X \ ge 106.58 \ where \ \ mu = 116) \\ [7pt] \, = P (T \ ge -2.36) \\ [7pt] \, = 1- P (T \ lt -2,36) \\ [7pt] \, = 1 - 0,0091 \\ [7pt] \, = 0,9909} $

Nous avons donc 99,09% de chances de rejeter l'hypothèse null $ {H_0: \ mu = 100} $ en faveur de l'hypothèse alternative $ {H_1: \ mu \ gt 100} $ où la moyenne de la population inconnue est $ {\ mu = 116 } $.