Statistiques - Théorème additif de probabilité

Pour des événements mutuellement exclusifs

Le théorème additif des états de probabilité si A et B sont deux événements mutuellement exclusifs alors la probabilité de A ou B est donnée par

$ {P (A \ ou \ B) = P (A) + P (B) \\ [7pt] P (A \ cup B) = P (A) + P (B)} $

Le théorème peut être étendu à trois événements mutuellement exclusifs aussi

$ {P (A \ tasse B \ tasse C) = P (A) + P (B) + P (C)} $

Exemple

Énoncé du problème:

Une carte est tirée d'un pack de 52, quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un roi ou d'une reine?

Solution:

Soit Event (A) = Tirage d'une carte de roi

Événement (B) Pioche d'une carte de reine

P (le tirage de la carte est roi ou reine) = P (la carte est roi) + P (la carte est reine)

$ {P (A \ cup B) = P (A) + P (B) \\ [7pt] = \ frac {4} {52} + \ frac {4} {52} \\ [7pt] = \ frac {1} {13} + \ frac {1} {13} \\ [7pt] = \ frac {2} {13}} $

Pour les événements non mutuellement exclusifs

Dans le cas où il est possible que les deux événements se produisent, le théorème additif s'écrit:

$ {P (A \ ou \ B) = P (A) + P (B) - P (A \ et \ B) \\ [7pt] P (A \ tasse B) = P (A) + P (B ) - P (AB)} $

Exemple

Énoncé du problème:

Un tireur est connu pour toucher une cible 3 sur 7 tirs; si un autre tireur est connu pour frapper la cible 2 coups sur 5. Trouvez la probabilité que la cible soit touchée lorsque tous les deux essaient.

Solution:

Probabilité que le premier tireur touche la cible P (A) = $ {\ frac {3} {7}} $

Probabilité que le deuxième tireur atteigne la cible P (B) = $ {\ frac {2} {5}} $

Les événements A et B ne s'excluent pas mutuellement car les deux tireurs peuvent toucher la cible. Par conséquent, la règle additive applicable est

$ {P (A \ cup B) = P (A) + P (B) - P (A \ cap B) \\ [7pt] = \ frac {3} {7} + \ frac {2} {5} - (\ frac {3} {7} \ times \ frac {2} {5}) \\ [7pt] = \ frac {29} {35} - \ frac {6} {35} \\ [7pt] = \ frac {23} {35}} $