Statistiques - Théorème de Bayes de probabilité

L'un des développements les plus importants dans le domaine des probabilités a été le développement de la théorie de la décision bayésienne qui s'est avérée d'une immense aide pour prendre des décisions dans des conditions incertaines. Le théorème de Bayes a été développé par un mathématicien britannique, le révérend Thomas Bayes. La probabilité donnée sous le théorème de Bayes est également connue sous le nom de probabilité inverse, probabilité postérieure ou probabilité révisée. Ce théorème trouve la probabilité d'un événement en considérant les informations d'échantillon données; d'où le nom de probabilité postérieure. Le théorème de bayes est basé sur la formule de probabilité conditionnelle.

probabilité conditionnelle de l'événement $ {A_1} $ l'événement donné $ {B} $ est

$ {P (A_1 / B) = \ frac {P (A_1 \ et \ B)} {P (B)}} $

De même, la probabilité que l'événement $ {A_1} $ soit donné à l'événement $ {B} $ est

$ {P (A_2 / B) = \ frac {P (A_2 \ and \ B)} {P (B)}} $

$ {P (B) = P (A_1 \ et \ B) + P (A_2 \ et \ B) \\ [7pt] P (B) = P (A_1) \ fois P (B / A_1) + P (A_2 ) \ fois P (BA_2)} $
$ {P (A_1 / B)} $ peut être réécrit en
$ {P (A_1 / B) = \ frac {P (A_1) \ fois P (B / A_1)} {P (A_1)} \ fois P (B / A_1) + P (A_2) \ fois P (BA_2) } $

Par conséquent, la forme générale du théorème de Bayes est

$ {P (A_i / B) = \ frac {P (A_i) \ fois P (B / A_i)} {\ sum_ {i = 1} ^ k P (A_i) \ fois P (B / A_i)}} $

Où $ {A_1} $, $ {A_2} $ ... $ {A_i} $ ... $ {A_n} $ sont un ensemble de n événements mutuellement exclusifs et exhaustifs.