Statistiques - Théorème multiplicatif de probabilité

Pour des événements indépendants

Le théorème stipule que la probabilité de l'occurrence simultanée de deux événements indépendants est donnée par le produit de leurs probabilités individuelles.

$ {P (A \ et \ B) = P (A) \ fois P (B) \\ [7pt] P (AB) = P (A) \ fois P (B)} $

Le théorème peut être étendu à trois événements indépendants ou plus également

$ {P (A \ cap B \ cap C) = P (A) \ fois P (B) \ fois P (C) P (A, B \ et \ C) = P (A) \ fois P (B) \ fois P (C)} $

Exemple

Énoncé du problème:

Un collège doit nommer un professeur qui doit être B.Com., MBA et Ph. D, dont la probabilité est $ {\ frac {1} {20}} $, $ {\ frac {1} {25} } $ et $ {\ frac {1} {40}} $ respectivement. Trouvez la probabilité d'obtenir qu'une telle personne soit nommée par le collège.

Solution:

Probabilité qu'une personne soit B.Com.P (A) = $ {\ frac {1} {20}} $

Probabilité qu'une personne soit MBA P (B) = $ {\ frac {1} {25}} $

Probabilité qu'une personne soit Ph.DP (C) = $ {\ frac {1} {40}} $

Utilisation d'un théorème multiplicatif pour des événements indépendants

$ {P (A, B \ et \ C) = P (A) \ fois P (B) \ fois P (C) \\ [7pt] = \ frac {1} {20} \ times \ frac {1} {25} \ times \ frac {1} {40} \\ [7pt] = .05 \ times .04 \ times .025 \\ [7pt] = .00005} $

Pour les événements dépendants (probabilité conditionnelle)

Comme défini précédemment, les événements dépendants sont ceux où les occurrences ou la non-occurrence d'un événement affectent l'issue de l'événement suivant. Pour de tels événements, le théorème multiplicatif énoncé précédemment n'est pas applicable. La probabilité associée à de tels événements est appelée probabilité conditionnelle et est donnée par

P (A / B) = $ {\ frac {P (AB)} {P (B)}} $ ou $ {\ frac {P (A \ cap B)} {P (B)}} $

Lisez P (A / B) comme la probabilité d'occurrence de l'événement A lorsque l'événement B s'est déjà produit.

De même, la probabilité conditionnelle de B étant donné A est

P (B / A) = $ {\ frac {P (AB)} {P (A)}} $ ou $ {\ frac {P (A \ cap B)} {P (A)}} $

Exemple

Énoncé du problème:

Une pièce est lancée 2 fois. Le tirage au sort a entraîné une tête et une queue. Quelle est la probabilité que le premier lancer ait entraîné une queue?

Solution:

L'espace échantillon d'une pièce lancée deux fois est donné par S = {HH, HT, TH, TT}

Soit l'événement A le premier lancer aboutissant à une queue.

L'événement B soit qu'une queue et une tête se sont produites.

$ {P (A) = \ frac {P (TH, TT)} {P (HH, HT, TH, TT)} = \ frac {2} {4} = \ frac {1} {2} \\ [ 7pt] P (A \ cap B) = \ frac {P (TH)} {P (HH, HT, TH, TT)} = \ frac {1} {4} \\ [7pt] So \ P (A / B) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (A)} \\ [7pt] = \ frac {\ frac {1} {4}} {\ frac {1} {2}} \\ [7pt] = \ frac {1} {2} = 0,5} $