Statistiques - Équation de régression quadratique

Une régression quadratique est déployée pour trouver une équation de la parabole qui peut le mieux correspondre à l'ensemble de données donné. Il se présente sous la forme suivante:

$ {y = ax ^ 2 + bx + c \ où \ a \ ne 0} $

La méthode des moindres carrés peut être utilisée pour trouver l'équation de régression quadratique. Dans cette méthode, nous trouvons la valeur de a, b et c de sorte que la distance verticale au carré entre chaque point donné ($ {x_i, y_i} $) et l'équation de la parabole ($ {y = ax ^ 2 + bx + 2} $) est minime. L'équation matricielle de la courbe parabolique est donnée par:

$ {\ begin {bmatrix} \ sum {x_i} ^ 4 & \ sum {x_i} ^ 3 & \ sum {x_i} ^ 2 \\ \ sum {x_i} ^ 3 & \ sum {x_i} ^ 2 & \ sum x_i \\ \ sum {x_i} ^ 2 & \ sum x_i & n \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} a \\ b \\ c \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sum {x_i} ^ 2 {y_i} \\ \ sum x_iy_i \\ \ sum y_i \ end {bmatrix}} $

Coefficient de corrélation, r

Le coefficient de corrélation, r détermine dans quelle mesure une équation quardratique peut s'adapter aux données données. Si r est proche de 1, il est bien ajusté. r peut être calculé par la formule suivante.

$ {r = 1 - \ frac {SSE} {SST} \ where \\ [7pt] \ SSE = \ sum (y_i - a {x_i} ^ 2 - bx + i - c) ^ 2 \\ [7pt] \ SST = \ sum (y_i - \ bar y) ^ 2} $

Généralement, les calculateurs de régression quadratique sont utilisés pour calculer l'équation de régression quadratique.

Exemple

Énoncé du problème:

Calculez l'équation de régression quadratique des données suivantes. Vérifiez sa meilleure forme physique.

X -3 -2 -1 0 1 2 3
y 7,5 3 0,5 1 3 6 14

Solution:

Calculez une régression quadratique sur la calculatrice en mettant les valeurs x et y. L'équation quadratique la mieux ajustée pour les points ci-dessus se présente comme

$ {y = 1,1071x ^ 2 + 0,5714x} $

Pour vérifier la meilleure forme physique, tracez le graphique.

équation de régression quadratique

Ainsi, la valeur du coefficient de corrélation, r pour les données est de 0,99420 et est proche de 1. Par conséquent, l'équation de régression quadratique est la mieux adaptée.